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Flugbahn

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Flugbahn

Weg, den ein aufsteigender Feuerwerkskörper (Bombe, Rakete, etc.) nach der ZĂŒndung hinter sich bringt.

Bedingt durch die Schwerkraft und weitere KrÀfte, die eine seitliche Abdrift bewirken, ist die Flugbahn auch bei senkrechtem Abschuss der Feuerwerkskörper mehr oder weniger parabelförmig.

Inhaltsverzeichnis

Physikalische Beschreibung der Flugbahn

Pyrotechnische GegenstÀnde ohne Eigenantrieb

Physikalische KrÀfte, die die Flugbahn einer Kugelbombe nach dem Abschuss beeinflussen (ohne Wind).
vergrĂ¶ĂŸern
Physikalische KrÀfte, die die Flugbahn einer Kugelbombe nach dem Abschuss beeinflussen (ohne Wind).

Hierunter fallen z.B. Kugelbomben, Zylinderbomben und Bombetten.

Die Flugbahn einer Kugelbombe wird bestimmt durch ihre Geschwindigkeit und Richtung beim Verlassen des Abschussrohres sowie die Summe der physikalischen KrÀfte, die danach auf sie wirken.

Dazu gehören die Schwerkraft, der Luftwiderstand der Kugelbombe, die Magnuskraft, die durch die Rotation der fliegenden Kugelbombe entsteht, und die Kraft, die der Wind auf die Bombe ausĂŒbt.

Bei korrekter Funktion des pyrotechnischen Gegenstands wird die Zerlegerladung nahe des Zenits der Flugbahn gezĂŒndet, so dass seine Flugbahn dort endet (die Bewegung der Bombenschalen-Reste soll hier nicht weiter betrachtet werden).

Schwerkraft: Durch die Wirkung der Schwerkraft entsteht die parabelförmige "Grundform" der Flugbahn; sie wirkt stets in vertikaler Richtung auf die Kugelbombe. Die Gravitationskraft berechnet sich aus

FSchwerkraft = -mptG * g,

wobei mptG die Masse des pyrotechnischen Gegenstands (ptG) und g die Erdbeschleunigung ist.

Luftwiderstand: Da die Kugelbombe eine hohe Anfangsgeschwindigkeit hat, muss ihr Luftwiderstand mitberĂŒcksichtigt werden. Der Luftwiderstand wirkt stets dem Geschwindigkeitsvektor entgegengesetzt, und ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit der Kugelbombe. Durch den Luftwiderstand wird zum einen die Steighöhe der Bombe verkĂŒrzt, zum anderen wird die horizontale Geschwindigkeit (bei gewinkeltem Abschuss, oder durch andere KrĂ€fte verursacht) verringert, was zu einer Asymmetrie der Flugparabel fĂŒhrt (der "absteigende Ast" der Parabel ist steiler als der "aufsteigende Ast"). Die aus dem Luftwiderstand resultierende Kraft ist

FLuftwiderstand = 1/2 * cw * ρLuft * vptG2 * AptG,

wobei cw der Luftwiderstandsbeiwert ist (fĂŒr Kugeln ein Wert von etwa 0,4 bis 0,5). ρLuft steht fĂŒr die Dichte der Luft, vptG ist die Geschwindigkeit und AptG die QuerschnittsflĂ€che der Kugelbombe .

Die Flugbahn, die sich aus dem gemeinsamen Wirken von Schwerkraft und Luftwiderstand ergibt, nennt man "ballistische Kurve".

Magnuskraft: Die Kugelbombe wird beim Abschuss in Rotation versetzt (durch leicht unterschiedliche DrĂŒcke beim Vorbeiströmen der heißen Explosionsgase an der Kugelbombe, die i.d.R. auch nicht perfekt rund ist). Die Rotation der Kugelbombe wĂ€hrend des Fluges fĂŒhrt dazu, dass auch eine dĂŒnne Schicht der Luft direkt an der OberflĂ€che der Bombe in Rotation versetzt wird. Gleichzeitig bewegt sich die Kugelbombe durch die Luft, wodurch die Bombe von der umgebenden Luft umströmt wird. An der Seite der Kugelbombe, wo die Strömungsrichtung der mitrotierenden Luft derjenigen der Umgebungsluft entgegengesetzt ist, entsteht ein höherer Druck als auf der entgegengesetzten Seite. Das fĂŒhrt zu einer Kraft, die senkrecht zur Strömungsrichtung der Luft auf die Kugelbombe wirkt:

FMagnus = 1/2 * ck * ρLuft * vptG2 * AptG * (ω * dptG / vptG)

Dabei steht ck fĂŒr den Beiwert der Magnuskraft (ca. 0,45 fĂŒr eine rauhe KugeloberflĂ€che), ω fĂŒr die Winkelgeschwindigkeit der Drehung und dptG fĂŒr den Durchmesser der Kugelbombe.

Die Magnuskraft ist umso grĂ¶ĂŸer, je schneller die Bombe fliegt und um ihre Achse rotiert. Die Richtung der Magnuskraft ist abhĂ€ngig von der Lage der Rotationsachse; die grĂ¶ĂŸte seitliche Abdrift aufgrund der Magnuskraft ergibt sich, wenn die Rotationsachse senkrecht zur Flugrichtung steht.

Windkraft: Wind fĂŒhrt zu einer Beschleunigung in horizontaler Richtung. Beschleunigung ist hier im physikalischen Sinn zu verstehen: fliegt die Bombe gegen den Wind, wird sie vom Wind abgebremst (negative Beschleunigung). Die Windgeschwindigkeit ist i.d.R. nicht konstant, sondern nimmt mit der Höhe zu. Anders formuliert: der Wind wird von der BodenoberflĂ€che gebremst. Je rauher die OberflĂ€che ist (BĂ€ume, GebĂ€ude), desto stĂ€rker ist diese AbschwĂ€chung, und desto grĂ¶ĂŸer ist der Unterschied der Windgeschwindigkeit am Boden und in der Höhe.

Die Kraft, die der Wind auf die Kugelbombe ausĂŒbt, ist also abhĂ€ngig von der Höhe, in der sich die Kugelbombe befindet:

FWind = 1/2 * cw * ρLuft * vrel(z)2 * AptG

vrel ist die relative Anströmgeschwindigkeit, die sich aus Windgeschwindigkeit und Fluggeschwindigkeit der Bombe ergibt (als Funktion der Höhe z).


Aus diesen KrĂ€ften ergibt sich fĂŒr die Bewegungsgleichung der Kugelbombe ein Differentialgleichungssystem, das numerisch gelöst werden muss:

F ges = mptG * aptG = d2s / d t2

wobei aptG die Beschleunigung, s(x,y,z) ein Ort auf der Bahnkurve, t die Zeit und Fges die Summe der wirksamen KrĂ€fte ist (Beschleunigung und Kraft sind Vektoren). d steht fĂŒr den Differentialoperator.



Pyrotechnische GegenstÀnde mit Eigenantrieb

Darunter fallen in erster Linie Raketen, auch steigende Kronen.

Der Eigenantrieb von Raketen beruht auf dem RĂŒckstoßprinzip: die bei der Verbrennung des Treibsatzes entstehenden Gase (Masse) werden durch die DĂŒse ausgestoßen, und die Rakete wird dadurch in die Gegenrichtung beschleunigt.

Mit Hilfe der Impulserhaltung lĂ€ĂŸt sich das so formulieren: d (mRakete*vRakete) / dt = - vGas * d(mRakete)/dt

m steht fĂŒr die Masse, v fĂŒr Geschwindigkeit und t fĂŒr die Zeit.

Dazu kommen als Ă€ußere KrĂ€fte noch die Gravitationskraft, der Luftwiderstand und evtl. die Windkraft.

BerĂŒcksichtigt man die Gravitation in der Raketengleichung, erhĂ€lt man fĂŒr die GeschwindigkeitsĂ€nderung einer senkrecht fliegenden Rakete folgende Gleichung:

mRakete * d (vRakete)/dt = -(vrel) * dmRakete / dt - mRakete*g

Dabei steht vrel = vGas + vRakete fĂŒr die Ausströmgeschwindigkeit des Gases relativ zur Rakete und g fĂŒr die Erdbeschleunigung.

Durch Integration ergibt sich als Geschwindigkeit der Rakete:

vRakete(t1) = vRakete(t0) + vrel * ln(mRakete(t0) / mRakete(t1)) - g * (t1 - t0)

Um die Flugbahn z(t) zu erhalten, muss diese Gleichung nochmals integriert werden.

Nachdem der Treibsatz abgebrannt ist, wird die Rakete zum Gegenstand ohne Eigenantrieb; die Flugbahn wird ab diesem Punkt von den gleichen KrĂ€ften beeinflusst, die oben fĂŒr die Kugelbombe erlĂ€utert sind.

Literatur

D. Eckhardt, H. Andre (2000): Erkenntnisse und Schlussfolgerungen aus der Untersuchung eines Unfalles mit einer Großfeuerwerksbombe. SprengInfo 23(3), S. 15-23.

Weblinks